Det skriver nyhedsbureauet Interfax ifølge nyhedsbureauet Reuters.
Ukraine har afvist påstanden fra Wagner-gruppens leder, Jevgenij Prigozjin, om, at hans soldater lørdag tog fuld kontrol over byen.
Wagner-gruppen kæmper på russisk side.
– Vladimir Putin ønsker Wagners angrebsgrupper samt alle russiske tropper, som har bistået dem og beskyttet flankerne, tillykke med at færdiggøre aktionen om at befri Artyomovsk, lyder det i udtalelsen ifølge det statslige russiske nyhedsbureau Tass.
Artyomovsk er det tidligere sovjetiske navn for Bakhmut.
Vladimir Putin siger yderligere ifølge Interfax, at de soldater, der har udmærket sig selv, vil modtage æresbevisninger, skriver Reuters.
Prigozjin har den seneste tid fremlagt forskellige påstande om status i Bakhmut.
Så sent som natten til fredag konstaterede han, at en snarlig erobring af Bakhmut var usandsynlig.
Og tidligere på ugen afviste han, at den russiske hær skulle have fremgang i byen. Det var ellers noget, som Ruslands forsvarsministerium hævdede.
Ruslands forsvarsministerium har også ifølge nyhedsbureauet AP omkring midnat lørdag hævdet, at Wagner har indtaget Bakhmut.
Det har ukrainske myndigheder ikke kommenteret på.
Det er ellers sjældent, at Prigozjin og det russiske forsvarsministerium finder fælles fodfæste.
De har længe været involveret i en meget offentlig fejde. Prigozjin har blandt andet anklaget forsvarsministeriet for ikke at forsyne sine tropper med nok ammunition.
Før krigen havde Bakhmut mellem 70.000 og 80.000 indbyggere.
Men den har udviklet sig til centrum for kampene i de seneste måneder og er nu næsten totalt ødelagt.
En talsmand fra Ukraines militær fortalte lørdag eftermiddag Reuters, at der ikke var hold i Prigozjins påstande.
– Det passer ikke. Vores styrker kæmper stadig i Bakhmut, sagde han.
Ukraines præsident, Volodymyr Zelenskyj, har tidligere sagt, at den ukrainske hær er fast besluttet på at forsvare Bakhmut.
/ritzau/
Andre læser også
